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Théorie des nombres.

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Par exemple, la théorie des nombres naturels avec juste addition comme une opération est connue comme arithmétique de Presburger. Il existe un ensemble complet d’axiomes (un schéma d’axiomes pour l’induction plus certains axiomes individuels). Il satisfait toutes les autres hypothèses du théorème de Gödel incomplétude, mais il est trop faible pour Gödel incomplétude théorème à appliquer. Mojżesz Presburger était un étudiant de Tarski et a prouvé ce beau résultat, mais est ensuite mort dans l’holocauste.

Il existe un algorithme qui, en principe, vous dira si une phrase donnée dans la langue de Presburger arithmétique est vraie. Chaque propriété P(n) définissable dans Presburger arithmétique est finalement périodique, en ce sens que pour certains N et assez grand n, P(n) est équivalent à P(n+N). En principe, on peut éliminer les quantificateurs un par un jusqu’à ce que la formule soit réduite à « vrai » ou « faux ».

Tarski a produit un système d’axiome pour la théorie du premier ordre des nombres réels avec addition et multiplication. Il est équivalent à la théorie du premier ordre de la géométrie euclidienne. Il ne peut échapper au théorème d’incomplétude de Gödel que parce qu’il n’y a aucun moyen de définir « entier » en lui. La façon dont nous définissons habituellement « entier » exige au moins une référence tacite aux collections de nombres réels de taille arbitrairement grande (ce que la logique du premier ordre ne nous permet pas de faire).

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